36. Радиусы вписанной и описанной окружностей одного правиль ного п-угольника равны r₁ и R₁, а радиус вписанной окружно- сти другого правильного п-угольника равен r₂. Чему равен ра диус описанной окружности другого п-угольника?

Решение:

Для правильного n-угольника существует связь между радиусами вписанной (r) и описанной (R) окружностей, а также стороной многоугольника (a).

1. Связь между радиусами и стороной: Радиус вписанной окружности связан со стороной формулой: $$r = \frac{a}{2 \tan(\frac{\pi}{n})}$$. Радиус описанной окружности связан со стороной формулой: $$R = \frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}$$.

2. Для первого n-угольника: $$r_1 = \frac{a_1}{2 \tan(\frac{\pi}{n})}$$. $$R_1 = \frac{a_1}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}$$.

3. Для второго n-угольника: $$r_2 = \frac{a_2}{2 \tan(\frac{\pi}{n})}$$. Пусть радиус описанной окружности второго многоугольника равен R₂. $$R_2 = \frac{a_2}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}$$.

4. Выражение для a₁ и a₂: $$a_1 = 2r_1 \tan(\frac{\pi}{n})$$. $$a_2 = 2r_2 \tan(\frac{\pi}{n})$$.

5. Выражение для R₂: $$R_2 = \frac{a_2}{2 \sin(\frac{\pi}{n})} = \frac{2r_2 \tan(\frac{\pi}{n})}{2 \sin(\frac{\pi}{n})} = r_2 \cdot \frac{\tan(\frac{\pi}{n})}{\sin(\frac{\pi}{n})} = r_2 \cdot \frac{\frac{\sin(\frac{\pi}{n})}{\cos(\frac{\pi}{n})}}{\sin(\frac{\pi}{n})} = \frac{r_2}{\cos(\frac{\pi}{n})}$$.

6. Выразим cos(π/n) через r₁ и R₁: Из $$R_1 = \frac{a_1}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}$$, $$a_1 = 2R_1 \sin(\frac{\pi}{n})$$. $$r_1 = \frac{a_1}{2 \tan(\frac{\pi}{n})} = \frac{2R_1 \sin(\frac{\pi}{n})}{2 \frac{\sin(\frac{\pi}{n})}{\cos(\frac{\pi}{n})}} = R_1 \cos(\frac{\pi}{n})$$. $$\cos(\frac{\pi}{n}) = \frac{r_1}{R_1}$$.

7. Итоговая формула: $$R_2 = \frac{r_2}{\cos(\frac{\pi}{n})} = \frac{r_2}{\frac{r_1}{R_1}} = \frac{r_2 R_1}{r_1}$$.

Ответ: Радиус описанной окружности другого n-угольника равен $$\frac{r_2 R_1}{r_1}$$.