37. Периметры двух правильных п-угольников относятся как а: б. Как относятся радиусы их вписанных и описанных окружностей?

Решение:

Пусть P₁ и P₂ — периметры двух правильных n-угольников, а:б — отношение периметров P₁:P₂. Пусть a₁ и a₂ — стороны этих многоугольников, r₁ и r₂ — радиусы вписанных окружностей, R₁ и R₂ — радиусы описанных окружностей.

1. Периметр и сторона: $$P_1 = n \cdot a_1$$. $$P_2 = n \cdot a_2$$.

2. Отношение сторон: $$\frac{P_1}{P_2} = \frac{n \cdot a_1}{n \cdot a_2} = \frac{a_1}{a_2} = \frac{a}{\sigma}$$.

3. Радиусы вписанных окружностей: $$r_1 = \frac{a_1}{2 \tan(\frac{\pi}{n})}$$. $$r_2 = \frac{a_2}{2 \tan(\frac{\pi}{n})}$$.

4. Отношение радиусов вписанных окружностей: $$\frac{r_1}{r_2} = \frac{\frac{a_1}{2 \tan(\frac{\pi}{n})}}{\frac{a_2}{2 \tan(\frac{\pi}{n})}} = \frac{a_1}{a_2} = \frac{a}{\sigma}$$.

5. Радиусы описанных окружностей: $$R_1 = \frac{a_1}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}$$. $$R_2 = \frac{a_2}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}$$.

6. Отношение радиусов описанных окружностей: $$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{a_1}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}}{\frac{a_2}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}} = \frac{a_1}{a_2} = \frac{a}{\sigma}$$.

Ответ: Отношение радиусов вписанных окружностей равно отношению периметров: $$\frac{r_1}{r_2} = \frac{a}{\sigma}$$. Отношение радиусов описанных окружностей равно отношению периметров: $$\frac{R_1}{R_2} = \frac{a}{\sigma}$$.