34. Около окружности радиуса r описана равнобокая трапеция с основаниями 2a и 2b. Докажите, что r² = ab.

Решение:

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, описанная около окружности радиуса r. Основания трапеции равны AD = 2a и BC = 2b. Нужно доказать, что r² = ab.

1. Свойство описанного четырехугольника: В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Следовательно, AB + CD = AD + BC. Так как трапеция равнобокая, AB = CD, и значит, 2AB = 2a + 2b, или AB = a + b.

2. Высота трапеции: Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть h = 2r.

3. Высота и проекция: Опустим высоту BE из вершины B на основание AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. В этом треугольнике AE = (AD - BC) / 2 = (2a - 2b) / 2 = a - b.

4. Теорема Пифагора: По теореме Пифагора для треугольника ABE: $$AE^2 + BE^2 = AB^2$$. $$(a - b)^2 + (2r)^2 = (a + b)^2$$.

5. Раскрываем скобки: $$a^2 - 2ab + b^2 + 4r^2 = a^2 + 2ab + b^2$$.

6. Упрощаем уравнение: $$4r^2 = 4ab$$.

7. Доказательство: $$r^2 = ab$$, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что r² = ab.