33. Равнобокая трапеция описана около окружности с радиусом 12 дм. Точка касания делит её боковую сторону в отношении 9:4. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, описанная около окружности с радиусом r = 12 дм. Точка касания K делит боковую сторону AB в отношении AK:KB = 9:4. Необходимо найти среднюю линию трапеции.

1. Свойство описанного четырехугольника: Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны. Для трапеции ABCD это означает, что AB + CD = AD + BC. Так как трапеция равнобокая, AD = BC, следовательно, AB + CD = 2AD.

2. Высота и радиус: Высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности: h = 2r = 2 × 12 = 24 дм.

3. Боковая сторона: Пусть AK = 9x и KB = 4x, тогда вся боковая сторона AB = 9x + 4x = 13x.

4. Высота из точки B: Проведем высоту BL из точки B к основанию AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABL. В этом треугольнике AL = (AD - BC) / 2, так как трапеция равнобокая.

5. Связь боковой стороны и высоты: Высота BL равна высоте трапеции, то есть BL = h = 24 дм. По теореме Пифагора для треугольника ABL: $$AL^2 + BL^2 = AB^2$$

6. Выражение для AL: $$AL = \frac{AD - BC}{2}$$, следовательно, AD - BC = 2AL.

7. Средняя линия: Средняя линия m трапеции равна полусумме оснований: $$m = \frac{AD + BC}{2}$$.

8. Периметр и полупериметр: Так как AB + CD = AD + BC, то периметр P = 2(AD + BC). Полупериметр p = AD + BC.

9. Выражение AD через AB и CD: Выразим AD через AB, зная, что AB + CD = 2AD. Тогда $$AD = \frac{AB + CD}{2}$$.

10. Соотношение сторон: Так как трапеция описана около окружности, сумма её оснований равна сумме боковых сторон. То есть AD + BC = AB + CD. В равнобокой трапеции AD = BC, значит, 2AD = AB + CD.

11. Высота и проекция: $$BL = 24 \text{ дм}$$. $$AB = 13x$$. $$AL = \sqrt{AB^2 - BL^2} = \sqrt{(13x)^2 - 24^2} = \sqrt{169x^2 - 576}$$.

12. Выражение для средней линии: $$m = \frac{AD + BC}{2} = AD$$, так как AD = BC. $$m = \frac{AB + CD}{2}$$.

13. Из условия касания: Пусть окружность касается стороны AB в точке K. Тогда AK = 9x и KB = 4x, и AB = 13x. Опустим перпендикуляры из точек B и C на основание AD (точки L и M соответственно). Тогда AL = MD = (AD - BC) / 2. Из прямоугольного треугольника ABL, где BL = 24 (высота), имеем $$AL = \sqrt{(13x)^2 - 24^2}$$.

14. Решение для x: Известно, что в описанной равнобокой трапеции высота есть среднее пропорциональное между отрезками боковой стороны, то есть $$h^2 = AK \cdot KB$$. Следовательно, $$24^2 = 9x \cdot 4x$$. $$576 = 36x^2$$. $$x^2 = 16$$. $$x = 4 \text{ дм}$$.

15. Находим боковую сторону: $$AB = 13x = 13 \cdot 4 = 52 \text{ дм}$$.

16. Находим среднюю линию: Средняя линия равна боковой стороне: m = AD = AB = 25 дм.

Ответ: 52 дм.