650 Докажите, что отношение сходственных сторон подобных прямоугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.

Доказательство:

Пусть даны два подобных треугольника ABC и A1B1C1. Отношение сходственных сторон равно коэффициенту подобия k:

$$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} = k $$

Пусть h - высота, проведенная к стороне AB, и h1 - высота, проведенная к стороне A1B1.

Площадь треугольника ABC равна $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h$$, площадь треугольника A1B1C1 равна $$S_1 = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot h_1$$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$ \frac{S}{S_1} = k^2 $$

Подставим выражения для площадей:

$$ \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot h_1} = k^2 $$ $$ \frac{AB \cdot h}{A_1B_1 \cdot h_1} = k^2 $$

Выразим отношение высот:

$$ \frac{h}{h_1} = \frac{k^2 \cdot A_1B_1}{AB} $$

Так как $$ \frac{AB}{A_1B_1} = k $$, то $$ A_1B_1 = \frac{AB}{k} $$

Подставим это в выражение для отношения высот:

$$ \frac{h}{h_1} = \frac{k^2 \cdot \frac{AB}{k}}{AB} = \frac{k \cdot AB}{AB} = k $$

Получаем, что $$ \frac{h}{h_1} = k $$, то есть отношение высот равно коэффициенту подобия, а значит, и отношению сходственных сторон.

Что и требовалось доказать.