587 Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычие ляется по формуле S = a√3 4 , где а- сторона треугольника. рона равна: Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сто- а) 5 см; б) 1,2 см; в) 2/2 дм.

Доказательство формулы площади равностороннего треугольника:

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $$S = \frac{1}{2} a b \sin(\gamma)$$, где a и b - стороны треугольника, γ - угол между ними. В равностороннем треугольнике все стороны равны (a = b) и все углы равны 60°. Тогда, $$ S = \frac{1}{2} a^2 \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} a^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$

а) Площадь равностороннего треугольника со стороной 5 см:

$$S = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4} \approx 10.83 \text{ см}^2$$

б) Площадь равностороннего треугольника со стороной 1,2 см:

$$S = \frac{1.2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{1.44\sqrt{3}}{4} = 0.36\sqrt{3} \approx 0.62 \text{ см}^2$$

в) Переведём 2$$\sqrt{2}$$ дм в см: 2$$\sqrt{2}$$ дм = 2$$\sqrt{2}$$ * 10 см = 20$$\sqrt{2}$$ см

Площадь равностороннего треугольника со стороной 2$$\sqrt{2}$$ дм = 20$$\sqrt{2}$$ см:

$$S = \frac{(20\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{400 \cdot 2 \sqrt{3}}{4} = 200\sqrt{3} \approx 346.41 \text{ см}^2$$

Ответ: а) $$\frac{25\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$$, б) $$0.36\sqrt{3} \text{ см}^2$$, в) $$200\sqrt{3} \text{ см}^2$$