593 Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если: а) АВ = 10 см, ВС = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C=∠D= = 60°, AB = BC = 8 см; в) ∠C = ∠D = 45°, AB = 6 см, ВС = 9/2 см.

а) Дано: трапеция ABCD, AB = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см. Найти: площадь трапеции.

Трапеция равнобедренная. Проведём высоты BE и AF к основанию CD. Тогда EF = AB = 10 см, и DE = FC = (CD - AB) / 2 = (20 - 10) / 2 = 5 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADE. По теореме Пифагора:

$$h = \sqrt{AD^2 - DE^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

Площадь трапеции равна:

$$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180 \text{ см}^2$$

б) Дано: трапеция ABCD, ∠C = ∠D = 60°, AB = BC = 8 см. Найти: площадь трапеции.

Трапеция равнобедренная. ∠C = ∠D = 60°, значит, ∠A = ∠B = 120°. Проведём высоты BE и AF к основанию CD. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCE. ∠BCE = 60°, значит, CE = BC * cos(60°) = 8 * 0.5 = 4 см. Тогда DE = FC = 4 см. CD = AB + 2 * CE = 8 + 2 * 4 = 16 см. Высота BE = BC * sin(60°) = 8 * ($$\sqrt{3}$$ / 2) = 4$$\sqrt{3}$$ см. Площадь трапеции равна:

$$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{8 + 16}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \text{ см}^2$$

в) Дано: трапеция ABCD, ∠C = ∠D = 45°, AB = 6 см, BC = 9/2 см. Найти: площадь трапеции.

Трапеция равнобедренная. Проведём высоты BE и AF к основанию CD. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCE. ∠BCE = 45°, значит, CE = BE. CE = BC * cos(45°) = (9/2) * ($$\sqrt{2}$$ / 2) = (9$$\sqrt{2}$$) / 4 см. CD = AB + 2 * CE = 6 + 2 * (9$$\sqrt{2}$$) / 4 = 6 + (9$$\sqrt{2}$$) / 2 см. Высота BE = BC * sin(45°) = (9/2) * ($$\sqrt{2}$$ / 2) = (9$$\sqrt{2}$$) / 4 см. Площадь трапеции равна:

$$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{6 + 6 + (9\sqrt{2})/2}{2} \cdot \frac{9\sqrt{2}}{4} = \frac{12 + (9\sqrt{2})/2}{2} \cdot \frac{9\sqrt{2}}{4} = (6 + \frac{9\sqrt{2}}{4}) \cdot \frac{9\sqrt{2}}{4} = \frac{54\sqrt{2}}{4} + \frac{81 \cdot 2}{16} = \frac{27\sqrt{2}}{2} + \frac{81}{8} \text{ см}^2$$

Ответ: а) 180 см², б) $$48\sqrt{3} \text{ см}^2$$, в) $$\frac{27\sqrt{2}}{2} + \frac{81}{8} \text{ см}^2$$