599 В прямоугольный треугольника, если: а) гипотенуза равна 26 см, г= 4 см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.

а) Дано: прямоугольный треугольник, гипотенуза c = 26 см, радиус вписанной окружности r = 4 см. Найти: периметр.

В прямоугольном треугольнике $$r = \frac{a + b - c}{2}$$, где a и b - катеты. Тогда $$4 = \frac{a + b - 26}{2}$$, $$8 = a + b - 26$$, $$a + b = 34$$. Периметр равен $$P = a + b + c = 34 + 26 = 60 \text{ см}$$.

б) Дано: прямоугольный треугольник, точка касания делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найти: периметр.

Длина гипотенузы равна $$c = 5 + 12 = 17 \text{ см}$$. Пусть a и b - катеты, r - радиус вписанной окружности. Тогда, если точка касания делит гипотенузу на отрезки m и n, то $$a = r + m, b = r + n$$. Также $$r = \frac{a + b - c}{2}$$. В прямоугольном треугольнике центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис углов. Также $$a + b - c = 2r$$. $$a^2 + b^2 = c^2 \Rightarrow (r + m)^2 + (r + n)^2 = (m + n)^2$$. $$(r + 5)^2 + (r + 12)^2 = 17^2$$. $$r^2 + 10r + 25 + r^2 + 24r + 144 = 289$$. $$2r^2 + 34r - 120 = 0$$. $$r^2 + 17r - 60 = 0$$. Решим квадратное уравнение: $$r = \frac{-17 \pm \sqrt{17^2 - 4 \cdot (-60)}}{2} = \frac{-17 \pm \sqrt{289 + 240}}{2} = \frac{-17 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{-17 \pm 23}{2}$$. Так как r > 0, то $$r = \frac{-17 + 23}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}$$. Тогда $$a = r + 5 = 3 + 5 = 8 \text{ см}, b = r + 12 = 3 + 12 = 15 \text{ см}$$. Периметр равен $$P = a + b + c = 8 + 15 + 17 = 40 \text{ см}$$.

Ответ: а) 60 см, б) 40 см