Докажите, что при любом значении $$p$$ уравнение $$x^2 + px + p-4 = 0$$ имеет два корня.

Задание 8: Доказательство наличия двух корней у квадратного уравнения

Чтобы доказать, что квадратное уравнение имеет два корня, нам нужно показать, что его дискриминант больше нуля.

Дано:

• Уравнение: \( x^2 + px + p-4 = 0 \)
• Коэффициенты: \( a = 1 \), \( b = p \), \( c = p-4 \)

Доказать: Уравнение имеет два корня при любом значении $$p$$.

Решение:

1. Найдем дискриминант квадратного уравнения по формуле \( D = b^2 - 4ac \):
• $$ D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p-4) $$
• $$ D = p^2 - 4(p-4) $$
• Раскроем скобки:
• $$ D = p^2 - 4p + 16 $$
2. Теперь нам нужно показать, что это выражение \( p^2 - 4p + 16 \) всегда больше нуля, независимо от значения $$p$$.
3. Рассмотрим выражение \( p^2 - 4p + 16 \) как квадратный трехчлен относительно переменной $$p$$. Найдем его дискриминант:
• \( D_p = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 \)
4. Так как дискриминант \( D_p \) отрицательный (\( D_p < 0 \)), а коэффициент при \( p^2 \) положительный (равен 1), то парабола \( y = p^2 - 4p + 16 \) всегда находится выше оси абсцисс. Это означает, что \( p^2 - 4p + 16 \) всегда положительно для любого действительного значения $$p$$.
5. Альтернативный способ показать, что \( p^2 - 4p + 16 > 0 \) — это выделить полный квадрат:
• $$ p^2 - 4p + 16 = (p^2 - 4p + 4) + 12 = (p-2)^2 + 12 $$
• Так как \( (p-2)^2 \) всегда неотрицательно (больше или равно 0), то \( (p-2)^2 + 12 \) всегда будет больше 12, а значит, всегда больше нуля.

Вывод:

Поскольку дискриминант \( D = p^2 - 4p + 16 \) всегда положителен для любого значения $$p$$, квадратное уравнение \( x^2 + px + p-4 = 0 \) всегда имеет два различных действительных корня.