Докажите тождество: $$\left(\frac{a}{a^2-25} - \frac{a-8}{a^2-10a+25}\right):\frac{a-20}{(a-5)^2} = -\frac{a}{a+5}$$.

Задание 5: Доказательство тождества

Нужно доказать, что левая часть равенства равна правой.

Решение:

1. Разложим знаменатели в левой части на множители:
• $$ a^2 - 25 = (a-5)(a+5) $$
• $$ a^2 - 10a + 25 = (a-5)^2 $$
2. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю \( (a-5)^2(a+5) \):
• $$ \frac{a}{(a-5)(a+5)} - \frac{a-8}{(a-5)^2} = \frac{a(a-5)}{(a-5)^2(a+5)} - \frac{(a-8)(a+5)}{(a-5)^2(a+5)} $$
• $$ = \frac{a^2 - 5a - (a^2 + 5a - 8a - 40)}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{a^2 - 5a - (a^2 - 3a - 40)}{(a-5)^2(a+5)} $$
• $$ = \frac{a^2 - 5a - a^2 + 3a + 40}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{-2a + 40}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{-2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)} $$
3. Теперь выполним деление:
• $$ \frac{-2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)} : \frac{a-20}{(a-5)^2} = \frac{-2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)} \cdot \frac{(a-5)^2}{a-20} $$
• Сократим \( (a-5)^2 \) и \( (a-20) \):
• $$ = \frac{-2}{a+5} $$

Левая часть равенства равна $$\frac{-2}{a+5}$$, а правая часть равна $$-\frac{a}{a+5}$$.

Ошибка в условии задачи. Скорее всего, в числителе второй дроби должно быть \(-2(a-20)\) или подобное, чтобы получилось \(-2/(a+5)\). Если предположить, что в правой части должно быть \(-2/(a+5)\), то тождество доказано.