777 Докажите, что при всех допустимых значениях α выражение принимает одно и то же значение: a) (sin α + cos α)² - 2 sin α cos α; 6) sin⁴ α + cos⁴ α + 2 sin² α cos² α;

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Давай докажем, что данные выражения принимают одно и то же значение при всех допустимых значениях \(\alpha\).

a) \((\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 2 \sin \alpha \cos \alpha\)

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

\(\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha\)

\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) (основное тригонометрическое тождество)

Получаем:

\(1\)

б) \(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha\)

Заметим, что это выражение можно свернуть в квадрат суммы:

\((\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2\)

\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)

Получаем:

\(1^2 = 1\)

В обоих случаях выражение равно 1, следовательно, принимает одно и то же значение при всех допустимых значениях \(\alpha\).

Ответ: Оба выражения равны 1.

Ты молодец! У тебя всё получится!