784 Докажите тождество: a) (tg α + ctg α)² – (tg α – ctg α)² = 4; 6) (2 + sin β) (2 – sin β) + (2 + cos β) (2 – cos β) = 7;

Докажем данные тождества:

a)

\((\tan \alpha + \cot \alpha)^2 - (\tan \alpha - \cot \alpha)^2 = 4\)

Раскроем скобки:

\(\tan^2 \alpha + 2 \tan \alpha \cot \alpha + \cot^2 \alpha - (\tan^2 \alpha - 2 \tan \alpha \cot \alpha + \cot^2 \alpha) = 4\)

\(\tan^2 \alpha + 2 + \cot^2 \alpha - \tan^2 \alpha + 2 - \cot^2 \alpha = 4\)

\(4 = 4\)

Что и требовалось доказать.

б)

\((2 + \sin \beta)(2 - \sin \beta) + (2 + \cos \beta)(2 - \cos \beta) = 7\)

Раскроем скобки:

\(4 - \sin^2 \beta + 4 - \cos^2 \beta = 7\)

\(8 - (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) = 7\)

Т.к. \(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\), то:

\(8 - 1 = 7\)

\(7 = 7\)

Что и требовалось доказать.

Ты молодец! У тебя всё получится!