Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения $\left(\frac1{a+3}-\frac{27}{a^3+27}+\frac9{a^2-3a+9}\right)\cdot\left(a-\frac{6a-9}{a+3}\right)$ не зависит от значения $a$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: $a\ne -3$. Разложим сумму кубов: $a^3+27=(a+3)(a^2-3a+9)$.

Обозначим $Q=a^2-3a+9$. Тогда

\[\frac1{a+3}-\frac{27}{(a+3)Q}+\frac9Q=\frac{Q-27+9(a+3)}{(a+3)Q}.\]

\[Q-27+9(a+3)=a^2-3a+9-27+9a+27=(a+3)^2,\]

поэтому первая скобка равна $\frac{a+3}{Q}$.

Вторая скобка:

\[a-\frac{6a-9}{a+3}=\frac{a(a+3)-6a+9}{a+3}=\frac{a^2-3a+9}{a+3}=\frac Q{a+3}.\]

Следовательно,

\[\frac{a+3}{Q}\cdot\frac Q{a+3}=1.\]

Ответ: значение выражения постоянно и равно $1$.

Докажите, что при всех допустимых значениях \(a\) значение выражения \(\left(\frac1{a+3}-\frac{27}{a^3+27}+\frac9{a^2-3a+9}\right)\cdot\left(a-\frac{6a-9}{a+3}\right)\) не зависит от значения \(a\).