50.1. Докажите, что (рис. 2): a) ∆ACD ~ ∆CBD ~ ∆ABC; б) b²=bc⋅c, a²=ac⋅c; в) h²c=ac⋅bc.

Решение:

• а) Доказательство подобия треугольников:

Рассмотрим треугольники ∆ACD и ∆CBD.

• ∠ADC = ∠CDB = 90° (CD - высота)
• ∠CAD = ∠BCD (оба дополняют ∠ABC до 90°)

Следовательно, ∆ACD ~ ∆CBD по двум углам.

Рассмотрим треугольники ∆ACD и ∆ABC.

• ∠ADC = ∠ACB = 90°
• ∠A - общий

Следовательно, ∆ACD ~ ∆ABC по двум углам.

Из этого следует, что ∆ACD ~ ∆CBD ~ ∆ABC.

• б) Доказательство соотношений:

Из подобия ∆ACD ~ ∆ABC следует:

\[\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}\]\[AC^2 = AB \cdot AD\]\[b^2 = b_c \cdot c\]

Из подобия ∆CBD ~ ∆ABC следует:

\[\frac{BC}{AB} = \frac{BD}{BC}\]\[BC^2 = AB \cdot BD\]\[a^2 = a_c \cdot c\]

• в) Доказательство соотношения для высоты:

Из подобия ∆ACD ~ ∆CBD следует:

\[\frac{CD}{BD} = \frac{AD}{CD}\]\[CD^2 = AD \cdot BD\]\[h_c^2 = a_c \cdot b_c\]