50.6. Пусть в прямоугольном треугольнике катеты относятся как 3:2. Одна из проекций катетов на гипотенузу больше другой на 6 см. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Пусть катеты относятся как \( a:b = 3:2 \), то есть \( a = 3x \) и \( b = 2x \). Пусть \( a_c \) и \( b_c \) – проекции катетов на гипотенузу, и \( a_c - b_c = 6 \). Также известно, что:

\[a_c = \frac{a^2}{c}\]\[b_c = \frac{b^2}{c}\]

Гипотенуза \( c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(3x)^2 + (2x)^2} = \sqrt{9x^2 + 4x^2} = \sqrt{13x^2} = x\sqrt{13} \).

Тогда \( a_c = \frac{(3x)^2}{x\sqrt{13}} = \frac{9x}{\sqrt{13}} \) и \( b_c = \frac{(2x)^2}{x\sqrt{13}} = \frac{4x}{\sqrt{13}} \).

Так как \( a_c - b_c = 6 \), получаем:

\[\frac{9x}{\sqrt{13}} - \frac{4x}{\sqrt{13}} = 6\]\[\frac{5x}{\sqrt{13}} = 6\]\[x = \frac{6\sqrt{13}}{5}\]

Теперь найдем катеты:

\[a = 3x = 3 \cdot \frac{6\sqrt{13}}{5} = \frac{18\sqrt{13}}{5}\]\[b = 2x = 2 \cdot \frac{6\sqrt{13}}{5} = \frac{12\sqrt{13}}{5}\]

Площадь треугольника равна:

\[S = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot \frac{18\sqrt{13}}{5} \cdot \frac{12\sqrt{13}}{5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{18 \cdot 12 \cdot 13}{25} = \frac{2808}{50} = 56.16\] см²

Ответ: Площадь треугольника равна 56.16 см².