50.7. Найдите площадь прямоугольного треугольника, у которого проекции катетов на гипотенузу равны 2 см и 18 см.

Решение:

Пусть проекции катетов на гипотенузу равны \( a_c = 2 \) см и \( b_c = 18 \) см.

Тогда гипотенуза равна \( c = a_c + b_c = 2 + 18 = 20 \) см.

Высота \( h \), опущенная на гипотенузу, равна:

\[h = \sqrt{a_c \cdot b_c} = \sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6\] см

Катеты можно найти по формулам:

\[a = \sqrt{a_c \cdot c} = \sqrt{2 \cdot 20} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\] см\[b = \sqrt{b_c \cdot c} = \sqrt{18 \cdot 20} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}\] см

Площадь треугольника равна:

\[S = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{10} \cdot 6\sqrt{10} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 60\] см²

Ответ: Площадь треугольника равна 60 см².