50.5*. В прямоугольном треугольнике катеты относятся как 4:5. Найдите отношение проекций катетов на гипотенузу.

Решение:

Пусть катеты относятся как \( a:b = 4:5 \), то есть \( a = 4x \) и \( b = 5x \). Тогда гипотенуза \( c \) равна:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(4x)^2 + (5x)^2} = \sqrt{16x^2 + 25x^2} = \sqrt{41x^2} = x\sqrt{41}\]

Проекции катетов на гипотенузу: \( a_c = \frac{a^2}{c} \) и \( b_c = \frac{b^2}{c} \). Найдем отношение проекций:

\[\frac{a_c}{b_c} = \frac{\frac{a^2}{c}}{\frac{b^2}{c}} = \frac{a^2}{b^2} = \frac{(4x)^2}{(5x)^2} = \frac{16x^2}{25x^2} = \frac{16}{25}\]

Ответ: Отношение проекций катетов на гипотенузу равно 16:25.