50.8*В треугольнике ABC, ∠C=90°, CD — высота, CE — биссектриса, а AE: EB = 2:3. Найдите отношения а) AC: BC; б) SACE: SBCE; в) AD:BD.

Решение:

Пусть \( AE:EB = 2:3 \), то есть \( AE = 2x \) и \( EB = 3x \). Тогда \( AB = AE + EB = 2x + 3x = 5x \).

• a) AC:BC

По свойству биссектрисы угла треугольника:

\[\frac{AC}{BC} = \frac{AE}{EB} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}\]

Следовательно, \( AC:BC = 2:3 \).

• б) SACE:SBCE

Площади треугольников \( S_{ACE} \) и \( S_{BCE} \) относятся как длины сторон, на которые биссектриса делит сторону \( AB \):

\[\frac{S_{ACE}}{S_{BCE}} = \frac{AE}{EB} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}\]

Следовательно, \( S_{ACE}:S_{BCE} = 2:3 \).

• в) AD:BD

Пусть \( AC = 2y \) и \( BC = 3y \). Тогда по теореме Пифагора:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]\[(5x)^2 = (2y)^2 + (3y)^2\]\[25x^2 = 4y^2 + 9y^2 = 13y^2\]\[x^2 = \frac{13}{25} y^2\]\[x = \frac{\sqrt{13}}{5} y\]

Проекции катетов на гипотенузу:

\[AD = \frac{AC^2}{AB} = \frac{(2y)^2}{5x} = \frac{4y^2}{5 \cdot \frac{\sqrt{13}}{5} y} = \frac{4y}{\sqrt{13}}\]\[BD = \frac{BC^2}{AB} = \frac{(3y)^2}{5x} = \frac{9y^2}{5 \cdot \frac{\sqrt{13}}{5} y} = \frac{9y}{\sqrt{13}}\]

Отношение \( AD:BD \) равно:

\[\frac{AD}{BD} = \frac{\frac{4y}{\sqrt{13}}}{\frac{9y}{\sqrt{13}}} = \frac{4}{9}\]

Следовательно, \( AD:BD = 4:9 \).

Ответ: a) AC:BC = 2:3; б) SACE:SBCE = 2:3; в) AD:BD = 4:9.