311. Докажите, что точка М (0; -1) является центром окружности, описан- ной около треугольника АВС, если А (6; -9), В (−6; 7), C (8; 5).

311. Докажем, что точка M (0; -1) является центром окружности, описанной около треугольника ABC.

Если точка M - центр окружности, то расстояния от точки M до точек A, B и C должны быть равны (радиус окружности).

Найдем расстояния MA, MB и MC, используя формулу расстояния между двумя точками: $$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Расстояние MA:

$$ MA = \sqrt{(6-0)^2 + (-9-(-1))^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $$

Расстояние MB:

$$ MB = \sqrt{(-6-0)^2 + (7-(-1))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $$

Расстояние MC:

$$ MC = \sqrt{(8-0)^2 + (5-(-1))^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 $$

Так как $$MA = MB = MC = 10$$, то точка M является центром окружности, описанной около треугольника ABC.

Ответ: Точка M является центром окружности, описанной около треугольника ABC, так как $$MA = MB = MC = 10$$.