99 Докажите, что три параллельные плоскости отсекают на любых двух пересекающих эти плоскости прямых пропорциональные отрезки.

Пусть даны три параллельные плоскости α, β и γ. Пусть прямые a и b пересекают эти плоскости в точках A₁, B₁, C₁ и A₂, B₂, C₂ соответственно, где A₁, A₂ ∈ α, B₁, B₂ ∈ β и C₁, C₂ ∈ γ.

Доказательство:

Проведем через прямые a и b плоскость δ. Тогда линии пересечения плоскостей α, β и γ с плоскостью δ будут параллельны, так как плоскости α, β и γ параллельны.

По теореме Фалеса, если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то на другой стороне угла отложатся равные отрезки.

Тогда, если плоскости α, β и γ параллельны, то отрезки A₁B₁ и B₁C₁ пропорциональны отрезкам A₂B₂ и B₂C₂: A₁B₁ / B₁C₁ = A₂B₂ / B₂C₂.

Ответ: Три параллельные плоскости отсекают на любых двух пересекающих эти плоскости прямых пропорциональные отрезки.