Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика88 Параллельные прямые АС и BD пересекают плоскость а в точках А и В. Точки С и О лежат по одну сторону от плоскости а, АС=8 см, BD=6 см, АВ=4 см. а) Докажите, что прямая CD пересекает плоскость а в некоторой точке Е. б) Найдите отрезок ВЕ.
Ответ:
а) Доказательство:
Пусть прямые AC и BD пересекают плоскость α в точках A и B соответственно. Так как точки C и D лежат по одну сторону от плоскости α, то отрезки AC и BD не пересекают плоскость α.
Рассмотрим трапецию ACDB, где AB и CD - основания. Пусть прямая CD пересекает плоскость α в точке E. Тогда точки A, B и E лежат в одной плоскости (плоскости α). Следовательно, прямая CD пересекает плоскость α в точке E.
б) Найдем отрезок BE:
Пусть AE = x, тогда CE = AC - AE = 8 - x.
Рассмотрим подобные треугольники ABE и CDE. Имеем:
$$\frac{AE}{BE} = \frac{CE}{DE}$$ $$\frac{AE}{CE} = \frac{AB}{CD}$$Треугольники ABE и CDE подобны, так как углы при вершине E вертикальные, углы при основаниях AB и CD накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD.
Так как AC и BD пересекают плоскость α, то они не параллельны, следовательно, ACDB не является параллелограммом, а является трапецией.
Отношение отрезков:
$$\frac{AE}{CE} = \frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD}$$ $$\frac{AE}{AC} = \frac{BE}{BD}$$ $$\frac{x}{8} = \frac{BE}{6}$$Нужно найти CD, чтобы решить задачу. Однако данных для этого недостаточно. Предположим, что задача подразумевает, что плоскость α параллельна CD.
Если прямая CD пересекает плоскость α, то по теореме о пропорциональных отрезках:
$$\frac{AE}{EC} = \frac{BE}{ED} = \frac{AB}{CD}$$Так как CD пересекает плоскость в точке E, отрезки AE и BE лежат в плоскости α, а отрезки EC и ED лежат по другую сторону от плоскости α.
Пусть точка E лежит на прямой CD. Тогда по теореме Фалеса:
$$\frac{AE}{AC} = \frac{BE}{BD}$$ $$\frac{AE}{8} = \frac{BE}{6}$$Так как АВ = 4 см, то
$$\frac{AE}{8} = \frac{BE}{6}$$Пусть AE = x, тогда BE = AB - AE = 4 - x
$$\frac{x}{8} = \frac{4-x}{6}$$ $$6x = 32 - 8x$$ $$14x = 32$$ $$x = \frac{32}{14} = \frac{16}{7}$$ $$BE = 4 - \frac{16}{7} = \frac{28 - 16}{7} = \frac{12}{7} \approx 1.71$$Ответ: BE = 12/7 см
Похожие
- 89 Точки А. В. С и D не лежат в одной плоскости. Медианы треугольников АBC и CBD пересекаются соответственно в точках Ми М Докажите, что отрезки AD и М₁М2 параллельны.
- 90 Вершины А и В трапеции АBCD лежат в плоскости а, а вершины Си D не лежат в этой плоскости. Как расположена прямая СD относительно плоскости а, если отрезок АВ является: а) основанием трапеции; б) боковой стороной трапеции?
- 91 Через каждую из двух параллельных прямых а и в и точку М. не лежащую в плоскости этих прямых, проведена плоскость. Докажите, что эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной прямым а и в.
- 92 Плоскость а и прямая а параллельны прямой в. Докажите, что прямая а либо параллельна плоскости а, либо лежит в ней.
- 93 Прямые а и в параллельны. Через точку М прямой а проведена прямая MN, отличная от прямой а и не пересекающая прямую в. Каково взаимное расположение прямых МN и в?
- 94 Даны две скрещивающиеся прямые и точка В, не лежащая на этих прямых. Пересекаются ли плоскости, каждая из которых проходит через одну из прямых и точку В? Ответ обоснуйте.
- 95 Прямая а параллельна плоскости а. Докажите, что если плоскость в пересекает прямую а, то она пересекает и плоскость а.
- 96 Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключённые между плоскостью и параллельной ей прямой, равны.
- 97 Докажите, что два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо их сумма равна 180°.
- 98 Прямая а параллельна плоскости а. Существует ли плоскость, проходящая через прямую а и параллельная плоскости а? Если существует, то сколько таких плоскостей? Ответ обоснуйте.
- 99 Докажите, что три параллельные плоскости отсекают на любых двух пересекающих эти плоскости прямых пропорциональные отрезки.
- 100 Даны две скрещивающиеся прямые и точка А. Докажите, что через точку А проходит, и притом только одна, плоскость, которая либо параллельна данным прямым, либо проходит через одну из них и параллельна другой.
