471. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если: а) \(\angle BAC = \angle ACD\) и \(\angle BCA = \angle DAC\); б) AB || CD, \(\angle A = \angle C\).

**Решение:** **а)** 1. Дано: \(\angle BAC = \angle ACD\) и \(\angle BCA = \angle DAC\). 2. Рассмотрим треугольники ABC и CDA. У них AC - общая сторона. Значит, если углы, прилежащие к стороне, равны, то треугольники равны. \(\triangle ABC = \triangle CDA\) по второму признаку равенства треугольников. 3. Из равенства треугольников следует, что AB = CD и BC = AD. Значит, ABCD - параллелограмм, так как у него противоположные стороны попарно равны. **б)** 1. Дано: AB || CD, \(\angle A = \angle C\). 2. Так как AB || CD, то \(\angle A + \angle D = 180^\circ\) и \(\angle B + \angle C = 180^\circ\) (как односторонние углы при параллельных прямых). 3. По условию \(\angle A = \angle C\). Значит, и \(\angle D = \angle B\). Следовательно, противоположные углы четырехугольника ABCD равны. 4. В любом четырехугольнике сумма углов равна \(360^\circ\). Имеем: \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\). Так как \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\), то \(2\angle A + 2\angle B = 360^\circ\), следовательно, \(\angle A + \angle B = 180^\circ\). 5. Но углы A и B - односторонние углы при прямых AD и BC и секущей AB. Значит, AD || BC. 6. Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны (AB || CD и AD || BC), следовательно, это параллелограмм.