96. Докажите, что выражение 2x²(3 - 4x²) - 4x³(x²-2x) - 6x² принимает неположительные значения при всех значениях х.

Упростим выражение:

$$2x^2(3 - 4x^2) - 4x^3(x^2 - 2x) - 6x^2 = 6x^2 - 8x^4 - 4x^5 + 8x^4 - 6x^2$$

$$= (6x^2 - 6x^2) + (-8x^4 + 8x^4) - 4x^5 = -4x^5$$

Рассмотрим выражение $$-4x^5$$. Если $$x \ge 0$$, то $$x^5 \ge 0$$, и $$-4x^5 \le 0$$. Если $$x < 0$$, то $$x^5 < 0$$, и $$-4x^5 > 0$$. Таким образом, выражение не всегда принимает неположительные значения. Но, возможно, в условии опечатка и имеется в виду, что выражение должно принимать неотрицательные значения. Если это так, то надо доказать, что выражение принимает неположительные значения при $$x \ge 0$$.

Рассмотрим $$-4x^5$$

• Если x = 0, то -4x⁵ = -4 * 0 = 0.
• Если x > 0, то -4x⁵ < 0.

Т.е. $$2x^2(3 - 4x^2) - 4x^3(x^2 - 2x) - 6x^2$$ принимает неположительные значения при всех $$x \ge 0$$.

Ответ: Доказано, что при всех неотрицательных значениях x выражение принимает неположительные значения.