7. Докажите, что значение выражения: 6) √(13+1)2√2-√2√2 (√3-1) есть число натуральное.

Докажем, что значение выражения

$$ \sqrt{(\sqrt{3}+1)2\sqrt{2}} - \sqrt{2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)} $$

есть число натуральное.

Упростим выражение:

$$ \sqrt{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)} - \sqrt{2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)} = \sqrt{2\sqrt{6}+2\sqrt{2}} - \sqrt{2\sqrt{6}-2\sqrt{2}} $$

Возведем в квадрат:

$$ (\sqrt{2\sqrt{6}+2\sqrt{2}} - \sqrt{2\sqrt{6}-2\sqrt{2}})^2 = 2\sqrt{6}+2\sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{(2\sqrt{6}+2\sqrt{2})(2\sqrt{6}-2\sqrt{2})} + 2\sqrt{6}-2\sqrt{2} = 4\sqrt{6} - 2 \cdot \sqrt{4 \cdot 6 - 4 \cdot 2} = 4\sqrt{6} - 2 \cdot \sqrt{24 - 8} = 4\sqrt{6} - 2 \cdot \sqrt{16} = 4\sqrt{6} - 2 \cdot 4 = 4\sqrt{6} - 8 $$

Извлечем корень:

$$ \sqrt{4\sqrt{6} - 8} = 2 \sqrt{\sqrt{6} - 2} = 2 \sqrt{\sqrt{6} - \sqrt{4}} $$

Так как $$6 > 4$$ то $$(\sqrt{3}+1)2\sqrt{2} > 2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$$ и значение выражения число положительное.

Так как не получается извлечь корень, то значение выражения не является натуральным числом.

Ответ: Значение выражения не является натуральным числом.