Докажите неравенство 26a² + 10ab + b² + 2a + 4 > 0.

Решение:

Попробуем сгруппировать слагаемые и выделить полные квадраты.

1. Заметим, что \( b^2 + 10ab \) является частью квадрата суммы \( (b + 5a)^2 = b^2 + 10ab + 25a^2 \).
2. Перепишем исходное неравенство, выделяя этот квадрат:
   \( 26a^2 + 10ab + b^2 + 2a + 4 = (b^2 + 10ab + 25a^2) + a^2 + 2a + 4 \).
3. Теперь у нас есть \( (b + 5a)^2 \). Рассмотрим оставшуюся часть: \( a^2 + 2a + 4 \).
4. Выделим полный квадрат из \( a^2 + 2a + 4 \):
   \( a^2 + 2a + 1 + 3 = (a+1)^2 + 3 \).
5. Подставим обратно в исходное выражение:
   \( (b + 5a)^2 + (a+1)^2 + 3 \).
6. Мы получили сумму квадратов \( (b + 5a)^2 \) и \( (a+1)^2 \), и положительного числа 3.
   Квадраты всегда неотрицательны: \( (b + 5a)^2 ≥ 0 \) и \( (a+1)^2 ≥ 0 \).
7. Следовательно, \( (b + 5a)^2 + (a+1)^2 ≥ 0 \).
8. Добавляя 3, получаем: \( (b + 5a)^2 + (a+1)^2 + 3 ≥ 3 \).
9. Так как \( 3 > 0 \), то \( (b + 5a)^2 + (a+1)^2 + 3 > 0 \).

Вывод: Неравенство \( 26a^2 + 10ab + b^2 + 2a + 4 > 0 \) доказано.