Известно, что 3 < m < 6 и 4 < n < 5. Оцените значение выражения: 1) 3m + n; 2) mn; 3) m - n.

Решение:

Дано: \( 3 < m < 6 \) и \( 4 < n < 5 \).

1. Оценка выражения \( 3m + n \):
   1. Умножим первую часть неравенства на 3: \( 3 \cdot 3 < 3m < 3 \cdot 6 \) => \( 9 < 3m < 18 \).
   2. Прибавим к частям неравенства \( 3m \) и \( 9 \) соответствующее значение \( n \) (от 4 до 5): \( 9 + 4 < 3m + n < 18 + 5 \) => \( 13 < 3m + n < 23 \).
2. Оценка выражения \( mn \):
   1. Умножим части неравенств \( m \) и \( n \) друг на друга: \( 3 \cdot 4 < mn < 6 \cdot 5 \) => \( 12 < mn < 30 \).
3. Оценка выражения \( m - n \):
   1. Чтобы оценить разность \( m - n \), нужно из \( m \) вычесть \( n \). Для этого умножим неравенство \( 4 < n < 5 \) на -1, изменив знаки неравенства: \( -5 < -n < -4 \).
   2. Прибавим к частям неравенств \( m \) и \( -5 < -n < -4 \): \( 3 + (-5) < m - n < 6 + (-4) \) => \( -2 < m - n < 2 \).

Ответ: 1) \( 13 < 3m + n < 23 \); 2) \( 12 < mn < 30 \); 3) \( -2 < m - n < 2 \).