Докажите неравенство 10х²-6xy+y²-4x+6>0.

Докажем неравенство \(10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6 > 0\).

Преобразуем выражение, чтобы выделить полные квадраты:

\[10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6 = (9x^2 - 6xy + y^2) + (x^2 - 4x + 4) + 2\] \[= (3x - y)^2 + (x - 2)^2 + 2\]

Теперь, \((3x - y)^2 \ge 0\) и \((x - 2)^2 \ge 0\) для любых вещественных чисел \(x\) и \(y\). Следовательно, их сумма также неотрицательна, а добавление 2 делает выражение строго положительным:

\[(3x - y)^2 + (x - 2)^2 + 2 > 0\]

Таким образом, неравенство доказано.