Докажите тождество $$\frac{3}{2a-3} - \frac{8a^3-18a}{4a^2+9} \cdot \left( \frac{2a}{4a^2-12a+9} - \frac{3}{4a^2-9} \right) = -1$$.

Решение:

1. Преобразуем выражение в скобках:

   Знаменатель второй дроби в скобках ($$4a^2-12a+9$$) является полным квадратом: $$(2a-3)^2$$.

   Знаменатель третьей дроби в скобках ($$4a^2-9$$) является разностью квадратов: $$(2a-3)(2a+3)$$.

   Приведем к общему знаменателю $$(2a-3)^2(2a+3)$$:

   $$\\left( \\frac{2a \cdot (2a+3)}{(2a-3)^2 \cdot (2a+3)} - \\frac{3 \cdot (2a-3)}{(2a-3)^2 \cdot (2a+3)} \\right)$$

   $$ = \\frac{4a^2+6a - (6a-9)}{(2a-3)^2(2a+3)} = \\frac{4a^2+6a-6a+9}{(2a-3)^2(2a+3)} = \\frac{4a^2+9}{(2a-3)^2(2a+3)}$$

2. Упростим второе слагаемое:

   Представим числитель $$8a^3-18a$$ как $$2a(4a^2-9) = 2a(2a-3)(2a+3)$$.

   Второе слагаемое: $$\\frac{2a(2a-3)(2a+3)}{4a^2+9}$$

3. Подставим преобразованные части в исходное выражение:

   $$\\frac{3}{2a-3} - \\frac{2a(2a-3)(2a+3)}{4a^2+9} \cdot \\frac{4a^2+9}{(2a-3)^2(2a+3)}$$

4. Сократим дробь:

   $$\\frac{3}{2a-3} - \\frac{2a \cancel{(2a-3)} \cancel{(2a+3)}}{\cancel{4a^2+9}} \cdot \\frac{\cancel{4a^2+9}}{ (2a-3)^{\cancel{2}} \cancel{(2a+3)} }$$

   $$= \\frac{3}{2a-3} - \\frac{2a}{2a-3}$$

5. Вычислим разность:

   $$= \\frac{3 - 2a}{2a-3}$$

   Заметим, что $$3 - 2a = -(2a - 3)$$.

   $$= \\frac{-(2a-3)}{2a-3} = -1$$

Тождество доказано.