Домашнее задание. Задача 4. Докажите, что вершины треугольника находятся на равном расстоянии от прямой, на которой лежит средняя линия этого треугольника.

Пусть \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\), параллельная стороне \(AB\). Тогда \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AC\) и \(BC\), а прямая \(MN\) параллельна \(AB\).

Расстояние от вершины \(A\) до прямой \(MN\) равно половине высоты, опущенной из \(C\) на \(AB\), поскольку \(M\) — середина \(AC\), а параллельные прямые пересекаются с этой стороной пропорционально. Аналогично расстояние от \(B\) до \(MN\) равно той же половине высоты.

Расстояние от \(C\) до \(MN\) также равно половине высоты: прямая \(MN\) проходит посередине между параллельными прямыми \(AB\) и прямой через \(C\), параллельной \(AB\), поскольку \(M,N\) — середины боковых сторон.

Следовательно, расстояния от всех трёх вершин до прямой средней линии равны.