Задача 7. В треугольнике ABC проведены медианы AA₁ и BB₁, которые пересекаются в точке M. В треугольнике AMB проведена средняя линия PQ ∥ AB. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁PQ — параллелограмм.

Так как \(AA_1\) и \(BB_1\) — медианы, точка \(A_1\) является серединой \(BC\), а \(B_1\) — серединой \(AC\). Поэтому \(A_1B_1\) — средняя линия треугольника \(ABC\), и \(A_1B_1\parallel AB\).

По условию \(PQ\) — средняя линия треугольника \(AMB\), следовательно, \(PQ\parallel AB\). Значит, \(A_1B_1\parallel PQ\).

Центр тяжести делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Поэтому \(AM:MA_1=BM:MB_1=2:1\), откуда \(AM=2MA_1\) и \(BM=2MB_1\). Поскольку \(P,Q\) — середины \(AM,BM\), получаем \(AP=PM=MA_1\) и \(BQ=QM=MB_1\). Следовательно, \(AP=MA_1\) и \(BQ=MB_1\); с учётом расположения точек это даёт \(A_1P\parallel B_1Q\). Таким образом, у четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны, значит, \(A_1B_1PQ\) — параллелограмм.