Задача 6. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба и, наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

1. Середины сторон прямоугольника образуют ромб. Пусть \(E,F,G,H\) — середины последовательных сторон прямоугольника \(ABCD\). По теореме о средней линии треугольника стороны четырёхугольника равны половинам диагоналей прямоугольника: \(EF=GH=\frac12 AC\), \(FG=HE=\frac12 BD\). Диагонали прямоугольника равны, поэтому \(EF=FG=GH=HE\). Следовательно, \(EFGH\) — ромб.

2. Середины сторон ромба образуют прямоугольник. Пусть \(E,F,G,H\) — середины последовательных сторон ромба \(ABCD\). Тогда \(EF\parallel AC\), а \(FG\parallel BD\), по теореме о средней линии. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому \(EF\perp FG\). Четырёхугольник \(EFGH\) — параллелограмм с прямым углом, следовательно, прямоугольник.