Два отрезка с концами на противоположных сторонах квадрата перпендикулярны друг другу. Докажите, что эти отрезки равны.

Обозначим сторону квадрата через a. Пусть первый отрезок соединяет точки на двух противоположных сторонах, а второй — точки на оставшихся противоположных сторонах. Тогда горизонтальная проекция первого отрезка равна a, а вертикальная проекция второго тоже равна a. Если их наклоны к горизонтали равны α и β, то из перпендикулярности следует \(\beta=90^\circ-\alpha\). Длины отрезков равны соответственно \(a/\cos\alpha\) и \(a/\sin\beta\). Поскольку \(\sin\beta=\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha\), эти длины равны. Следовательно, данные отрезки равны.