e) \(\frac{x^2 + 4x}{x+2} = \frac{2x}{3}\);

e) $$\frac{x^2 + 4x}{x+2} = \frac{2x}{3}$$

1. Определим область допустимых значений переменной $$x$$. Знаменатель не должен равняться нулю:

$$x + 2
eq 0$$

$$x
eq -2$$

2. Умножим обе части уравнения на $$3(x+2)$$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$3(x^2 + 4x) = 2x(x + 2)$$

3. Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

$$3x^2 + 12x = 2x^2 + 4x$$

$$3x^2 - 2x^2 + 12x - 4x = 0$$

$$x^2 + 8x = 0$$

4. Вынесем $$x$$ за скобки:

$$x(x + 8) = 0$$

5. Найдем корни уравнения, приравняв каждый множитель к нулю:

$$x = 0$$ или $$x + 8 = 0$$

$$x = 0$$ или $$x = -8$$

6. Проверим, входят ли корни в область допустимых значений.

Ранее мы определили, что $$x
eq -2$$. Оба корня $$x = 0$$ и $$x = -8$$ подходят.

Ответ: -8, 0