14.4. Если длину каждого ребра куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см³. Найдите длину ребра куба.

Пошаговое решение:

1. Пусть \(a\) – длина ребра куба. Тогда объем куба равен \(V = a^3\).
2. Если увеличить длину каждого ребра на 2 см, то новое ребро будет \(a + 2\), а новый объем \((a + 2)^3\).
3. По условию, новый объем больше исходного на 98 см³, то есть \((a + 2)^3 = a^3 + 98\).
4. Раскроем скобки и упростим уравнение: \(a^3 + 6a^2 + 12a + 8 = a^3 + 98\). Отсюда \(6a^2 + 12a - 90 = 0\).
5. Разделим уравнение на 6: \(a^2 + 2a - 15 = 0\).
6. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\). Корни уравнения: \(a_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3\), \(a_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = -5\).
7. Так как длина ребра не может быть отрицательной, то \(a = 3\) см.

Ответ: 3 см