14.15. Основанием призмы служит треугольник, у которого длина одной стороны равна 2 см, а двух других — по 3 см, боковое ребро имеет длину 4 см и наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите длину ребра равновеликого куба.

Пошаговое решение:

1. Найдем площадь основания призмы, используя формулу Герона. Стороны треугольника: a = 2 см, b = 3 см, c = 3 см. Полупериметр: \(p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{2 + 3 + 3}{2} = 4\) см.
2. Площадь основания: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{4(4-2)(4-3)(4-3)} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) см².
3. Высота призмы \(h\) равна \(l \cdot sin(45°)\), где \(l\) – длина бокового ребра, а угол наклона составляет 45°. Значит, \(h = 4 \cdot sin(45°) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\) см.
4. Объем призмы: \(V = S \cdot h = 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 8\) см³.
5. Длина ребра равновеликого куба \(a\) равна \(\sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{8} = 2\) см.

Ответ: 2 см