1. Если каждое ребро куба увеличить на 3, то его объем увеличится на 657. Найдите ребро куба.

Пусть $$a$$ - ребро куба. Тогда объем куба равен $$V = a^3$$. Если каждое ребро увеличить на 3, то новое ребро будет $$a+3$$, а новый объем $$V_{new} = (a+3)^3$$. По условию, объем увеличится на 657, значит: $$(a+3)^3 - a^3 = 657$$ $$a^3 + 9a^2 + 27a + 27 - a^3 = 657$$ $$9a^2 + 27a + 27 = 657$$ $$9a^2 + 27a - 630 = 0$$ Разделим на 9: $$a^2 + 3a - 70 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = 3^2 - 4(1)(-70) = 9 + 280 = 289$$ $$a_1 = \frac{-3 + \sqrt{289}}{2} = \frac{-3 + 17}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ $$a_2 = \frac{-3 - \sqrt{289}}{2} = \frac{-3 - 17}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$ Так как длина ребра не может быть отрицательной, то $$a=7$$. Ответ: 7