5. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 117 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.

Пусть $$S_1$$ - площадь основания первого сосуда, а $$S_2$$ - площадь основания второго сосуда. Пусть $$a_1$$ - сторона основания первого сосуда, тогда $$a_2 = 3a_1$$ - сторона основания второго сосуда. Так как основания - правильные треугольники, то $$S_1 = \frac{a_1^2 \sqrt{3}}{4}$$ и $$S_2 = \frac{a_2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(3a_1)^2 \sqrt{3}}{4} = 9 \frac{a_1^2 \sqrt{3}}{4} = 9S_1$$. Пусть $$h_1 = 117$$ см - высота уровня воды в первом сосуде, а $$h_2$$ - высота уровня воды во втором сосуде. Объем воды в обоих сосудах одинаков, поэтому $$V_1 = V_2$$. $$V_1 = S_1 h_1$$ и $$V_2 = S_2 h_2$$, следовательно, $$S_1 h_1 = S_2 h_2$$. $$S_1 cdot 117 = 9S_1 cdot h_2$$ $$117 = 9h_2$$ $$h_2 = \frac{117}{9} = 13$$ Ответ: 13