16. Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке O. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки A до точки O равно 8.

Решение: 1. Обозначим точки касания как B и C. Тогда OB и OC - радиусы, проведенные в точки касания, и следовательно, углы OBA и OCA прямые (90°). 2. Угол между касательными BAC равен 60°. Рассмотрим четырехугольник ABOC. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Тогда угол BOC = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°. 3. Рассмотрим треугольник ABO. Он прямоугольный (угол OBA = 90°). AO - гипотенуза, OB - катет (радиус), угол BAO равен половине угла BAC, то есть 60°/2 = 30°. 4. В прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. То есть, OB = AO / 2 = 8 / 2 = 4. Ответ: Радиус окружности равен 4.