10.Из точки А вне окружности проведена касательная АВ и секущая AD, как показано на картинке. Найдите длину отрезка АС, если CD=5, а длина отрезка касательной равна 6√2.

Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: АВ² = АС × АD.

AD = AC + CD.

(6√2)² = АС × (АС + 5).

36 × 2 = АС² + 5АС.

АС² + 5АС - 72 = 0.

Решим квадратное уравнение.

D = b² - 4ac = 5² - 4 × 1 × (-72) = 25 + 288 = 313.

АС₁ = (-5 + √313) ∶ 2 ≈ (-5 + 17.69) ∶ 2 ≈ 6.34.

АС₂ = (-5 - √313) ∶ 2 ≈ (-5 - 17.69) ∶ 2 ≈ -11.34 (не подходит, так как длина отрезка не может быть отрицательной).

Ответ: 6.34