12 Какая формула площади треугольника называется формулой Герона? Выведите эту формулу.

Формула Герона - это формула для вычисления площади треугольника по трем его сторонам. $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где a, b, c - стороны треугольника, p - полупериметр треугольника: $$p = \frac{a + b + c}{2}$$

Вывод формулы Герона: Пусть дан треугольник ABC со сторонами a, b, c. Из теоремы косинусов: $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos{A}$$, отсюда $$\cos{A} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$. Из основного тригонометрического тождества: $$\sin^2{A} = 1 - \cos^2{A} = 1 - \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)^2 = \frac{(2bc)^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2}{(2bc)^2}$$. По формуле разности квадратов: $$\sin^2{A} = \frac{(2bc - (b^2 + c^2 - a^2))(2bc + (b^2 + c^2 - a^2))}{(2bc)^2} = \frac{(a^2 - (b - c)^2)((b + c)^2 - a^2)}{(2bc)^2}$$. Снова по формуле разности квадратов: $$\sin^2{A} = \frac{(a - b + c)(a + b - c)(b + c - a)(b + c + a)}{(2bc)^2}$$. Введем полупериметр: $$p = \frac{a + b + c}{2}$$. Тогда $$\begin{cases} a - b + c = 2(p - b) \\ a + b - c = 2(p - c) \\ b + c - a = 2(p - a) \\ b + c + a = 2p \end{cases}$$. Подставим в выражение для квадрата синуса: $$\sin^2{A} = \frac{16p(p - a)(p - b)(p - c)}{(2bc)^2}$$, $$\sin{A} = \frac{2}{bc}\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$. Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2}bc\sin{A}$$. Подставим выражение для синуса: $$S = \frac{1}{2}bc \cdot \frac{2}{bc}\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$.

Ответ: Формула Герона имеет вид $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где p - полупериметр треугольника, a, b, c - его стороны.