8 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади трапеции.

Теорема: Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.

Доказательство:

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD = a, BC = b и высотой BH = h. Докажем, что площадь трапеции S = ((a + b) / 2) * h.

Проведем диагональ BD, которая разбивает трапецию на два треугольника: ABD и BCD. Площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников: S = S(ABD) + S(BCD).

Площадь треугольника ABD равна $$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$. Площадь треугольника BCD равна $$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DK = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$$, где DK - высота, проведенная из вершины B к основанию CD. Так как трапеция, то DK = BH = h.

Тогда площадь трапеции S = S(ABD) + S(BCD) = (1/2) * a * h + (1/2) * b * h = (1/2) * (a + b) * h.

Теорема доказана.

Ответ: Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.