4) Катер прошел 15 км против течения реки и 6 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шел 22 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч?

4) Пусть $$v$$ - собственная скорость катера (км/ч).

Тогда скорость против течения равна $$(v - 2)$$ км/ч, а скорость по течению равна $$(v + 2)$$ км/ч.

Время, затраченное на путь против течения: $$\frac{15}{v - 2}$$ ч.

Время, затраченное на путь по течению: $$\frac{6}{v + 2}$$ ч.

Общее время: $$\frac{15}{v - 2} + \frac{6}{v + 2}$$ ч.

Время, затраченное на путь по озеру: $$\frac{22}{v}$$ ч.

По условию задачи, общее время равно времени по озеру, поэтому составим уравнение:

$$\frac{15}{v - 2} + \frac{6}{v + 2} = \frac{22}{v}$$

$$\frac{15(v + 2) + 6(v - 2)}{(v - 2)(v + 2)} = \frac{22}{v}$$

$$\frac{15v + 30 + 6v - 12}{v^2 - 4} = \frac{22}{v}$$

$$\frac{21v + 18}{v^2 - 4} = \frac{22}{v}$$

$$v(21v + 18) = 22(v^2 - 4)$$

$$21v^2 + 18v = 22v^2 - 88$$

$$v^2 - 18v - 88 = 0$$

Решим квадратное уравнение $$v^2 - 18v - 88 = 0$$.

Найдем дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a = 1$$, $$b = -18$$, $$c = -88$$:

$$D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-88) = 324 + 352 = 676$$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам:

$$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$, $$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$

$$v_1 = \frac{18 + \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 26}{2} = \frac{44}{2} = 22$$

$$v_2 = \frac{18 - \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 26}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 22$$ км/ч.

Ответ: 22 км/ч