Катер прошёл по течению реки 80 км, повернув обратно, он прошёл ещё 60 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть $$v$$ км/ч – собственная скорость катера.

Тогда скорость катера по течению реки равна $$(v + 5)$$ км/ч, а против течения – $$(v - 5)$$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению реки: $$t_1 = \frac{80}{v + 5}$$

Время, затраченное на путь против течения реки: $$t_2 = \frac{60}{v - 5}$$

По условию задачи, на весь путь катер затратил 10 часов, значит, $$t_1 + t_2 = 10$$.

Составим уравнение:

$$\frac{80}{v + 5} + \frac{60}{v - 5} = 10$$

Умножим обе части уравнения на $$(v + 5)(v - 5)$$.

$$80(v - 5) + 60(v + 5) = 10(v^2 - 25)$$

$$80v - 400 + 60v + 300 = 10v^2 - 250$$

$$140v - 100 = 10v^2 - 250$$

$$10v^2 - 140v - 150 = 0$$

Разделим обе части уравнения на 10:

$$v^2 - 14v - 15 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256$$

$$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 16}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 16}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$$ (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной).

Таким образом, собственная скорость катера равна 15 км/ч.

Ответ: 15