5.71. log₀,₃ (x² + x + 31) < log₀,₃ (10x + 11).

5.71. Решим неравенство log₀,₃ (x² + x + 31) < log₀,₃ (10x + 11).

Область определения (ОО):

• x² + x + 31 > 0
• 10x + 11 > 0

Для первого неравенства:

x² + x + 31 > 0

D = 1² - 4 * 1 * 31 = 1 - 124 = -123 (D < 0)

Т.к. D < 0, то x² + x + 31 > 0 для всех x.

Для второго неравенства:

10x + 11 > 0

10x > -11

x > -1.1

Следовательно, ОО: x > -1.1

Теперь решим основное неравенство:

log₀,₃ (x² + x + 31) < log₀,₃ (10x + 11)

Так как основание логарифма 0.3 < 1, знак неравенства меняется:

x² + x + 31 > 10x + 11

x² - 9x + 20 > 0

Решим квадратное уравнение x² - 9x + 20 = 0

D = (-9)² - 4 * 1 * 20 = 81 - 80 = 1

x₁ = (9 + √1) / 2 = 10 / 2 = 5

x₂ = (9 - √1) / 2 = 8 / 2 = 4

Решением неравенства x² - 9x + 20 > 0 является интервал (-∞; 4) ∪ (5; +∞).

С учетом области определения x > -1.1, получаем решение (-1.1; 4) ∪ (5; +∞).

Ответ: (-1.1; 4) ∪ (5; +∞)