5.65. log₂ (x – 1) + log₂ x < 1.

5.65. Решим неравенство log₂ (x – 1) + log₂ x < 1.

Область определения (ОО):

• x - 1 > 0
• x > 0

Следовательно, ОО: x > 1.

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов:

$$log_2((x-1)x) < log_2 2$$

$$x^2 - x < 2$$

$$x^2 - x - 2 < 0$$

Решим квадратное уравнение:$$x^2 - x - 2 = 0$$

$$D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$$

$$x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$$

Решением неравенства $$x^2 - x - 2 < 0$$ является интервал (-1; 2).

Учитывая область определения x > 1, получаем решение 1 < x < 2.

Ответ: 1 < x < 2