5.69. log₀,₅ (4 - x) ≥ log₀,₅ 2 – log₀,₅ (x – 1).

5.69. Решим неравенство log₀,₅ (4 - x) ≥ log₀,₅ 2 – log₀,₅ (x – 1).

Область определения (ОО):

• 4 - x > 0
• x - 1 > 0

Следовательно, ОО: 1 < x < 4.

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов:

$$log_{0.5}(4 - x) \geq log_{0.5} \frac{2}{x-1}$$

Так как основание логарифма 0.5 < 1, знак неравенства меняется:

$$4 - x \leq \frac{2}{x-1}$$

$$(4 - x) - \frac{2}{x-1} \leq 0$$

$$\frac{(4 - x)(x-1) - 2}{x-1} \leq 0$$

$$\frac{4x - 4 - x^2 + x - 2}{x-1} \leq 0$$

$$\frac{-x^2 + 5x - 6}{x-1} \leq 0$$

$$\frac{x^2 - 5x + 6}{x-1} \geq 0$$

Найдем корни квадратного трехчлена x² - 5x + 6 = 0:

$$D = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$

$$x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2$$

Разложим числитель на множители:

$$\frac{(x - 2)(x - 3)}{x-1} \geq 0$$

Решим методом интервалов:

Значения x, при которых выражение равно 0: x = 2, x = 3.

Значения x, при которых выражение не определено: x = 1.

Определим знаки на интервалах: (-∞; 1), (1; 2), (2; 3), (3; +∞).

Интервалы, где выражение положительно или равно 0: (1; 2] ∪ [3; +∞).

Учитывая область определения 1 < x < 4, получаем решение 1 < x ≤ 2 ∪ 3 ≤ x < 4.

Ответ: 1 < x ≤ 2 ∪ 3 ≤ x < 4