5.76. log⅓ 3x + 1 > -1.

5.76. Решим неравенство log₁/₃ ((3x + 1) / (x - 2)) > -1.

Область определения (ОО):

• (3x + 1) / (x - 2) > 0
• x - 2 ≠ 0

Решим первое неравенство методом интервалов:

Нули числителя: 3x + 1 = 0 → x = -1/3

Нули знаменателя: x - 2 = 0 → x = 2

Интервалы: (-∞; -1/3), (-1/3; 2), (2; +∞)

Знаки на интервалах: +, -, +

Решение первого неравенства: (-∞; -1/3) ∪ (2; +∞)

Теперь решим основное неравенство:

log₁/₃ ((3x + 1) / (x - 2)) > -1

log₁/₃ ((3x + 1) / (x - 2)) > log₁/₃ 3

Так как основание логарифма 1/3 < 1, знак неравенства меняется:

(3x + 1) / (x - 2) < 3

(3x + 1) / (x - 2) - 3 < 0

(3x + 1 - 3(x - 2)) / (x - 2) < 0

(3x + 1 - 3x + 6) / (x - 2) < 0

7 / (x - 2) < 0

Так как 7 > 0, то x - 2 < 0

x < 2

С учетом области определения (-∞; -1/3) ∪ (2; +∞), получаем решение (-∞; -1/3).

Ответ: (-∞; -1/3)