5.70. log₃ (x² – 7x + 12) < log₃ 20.

5.70. Решим неравенство log₃ (x² – 7x + 12) < log₃ 20.

Область определения (ОО):

$$x^2 - 7x + 12 > 0$$

Решим квадратное уравнение $$x^2 - 7x + 12 = 0$$

$$D = (-7)^2 - 4(1)(12) = 49 - 48 = 1$$

$$x_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{7 - 1}{2} = 3$$

Следовательно, решением неравенства $$x^2 - 7x + 12 > 0$$ будет интервал: (-∞; 3) ∪ (4; +∞).

Теперь решим основное неравенство:

$$log_3(x^2 - 7x + 12) < log_3 20$$

Поскольку основание логарифма 3 > 1, то знак неравенства сохраняется:

$$x^2 - 7x + 12 < 20$$

$$x^2 - 7x - 8 < 0$$

Решим квадратное уравнение $$x^2 - 7x - 8 = 0$$

$$D = (-7)^2 - 4(1)(-8) = 49 + 32 = 81$$

$$x_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{7 + 9}{2} = 8$$

$$x_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{7 - 9}{2} = -1$$

Решением неравенства $$x^2 - 7x - 8 < 0$$ является интервал (-1; 8).

С учетом области определения (-∞; 3) ∪ (4; +∞), получаем решение:

(-1; 3) ∪ (4; 8).

Ответ: (-1; 3) ∪ (4; 8)