4.97. Между числами -3\(\sqrt{5}\) и 9\(\sqrt{5}\) вставьте шесть таких чисел, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию. Какой номер будет иметь число 9\(\sqrt{5}\)? Чему равна разность этой арифметической прогрессии?

Решение:

Шаг 1: Определим общее количество членов арифметической прогрессии

Между числами -3\(\sqrt{5}\) и 9\(\sqrt{5}\) вставлено 6 чисел, значит, всего членов будет 8.

Шаг 2: Запишем формулу n-го члена арифметической прогрессии

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

В нашем случае:

\[a_1 = -3\sqrt{5}\]

\[a_8 = 9\sqrt{5}\]

Шаг 3: Найдем разность арифметической прогрессии

\[9\sqrt{5} = -3\sqrt{5} + (8-1)d\]

\[9\sqrt{5} = -3\sqrt{5} + 7d\]

\[12\sqrt{5} = 7d\]

\[d = \frac{12\sqrt{5}}{7}\]

Шаг 4: Определим номер числа 9\(\sqrt{5}\)

Так как между числами -3\(\sqrt{5}\) и 9\(\sqrt{5}\) вставлено 6 чисел, то число 9\(\sqrt{5}\) будет иметь номер 8.