4.101*. Проанализируйте условие и найдите первый член и разность арифметической прогрессии (а), если: а) а₄ + а₁₃ = 47 и ад + а₁₅ = 68; б) а2 + а6 = 42 и а10 - а4 = 54.

Решение:

а) Дано: a₄ + a₁₃ = 47 и a₉ + a₁₅ = 68

Шаг 1: Выразим a₄, a₁₃, a₉ и a₁₅ через a₁ и d

\[a_4 = a_1 + 3d\]

\[a_{13} = a_1 + 12d\]

\[a_9 = a_1 + 8d\]

\[a_{15} = a_1 + 14d\]

Шаг 2: Подставим выражения в уравнения

\[(a_1 + 3d) + (a_1 + 12d) = 47\]

\[(a_1 + 8d) + (a_1 + 14d) = 68\]

Шаг 3: Упростим уравнения

\[2a_1 + 15d = 47\]

\[2a_1 + 22d = 68\]

Шаг 4: Решим систему уравнений

Вычтем первое уравнение из второго:

\[7d = 21\]

\[d = 3\]

Подставим d в первое уравнение:

\[2a_1 + 15(3) = 47\]

\[2a_1 + 45 = 47\]

\[2a_1 = 2\]

\[a_1 = 1\]

б) Дано: a₂ + a₆ = 42 и a₁₀ - a₄ = 54

Шаг 1: Выразим a₂, a₆, a₁₀ и a₄ через a₁ и d

\[a_2 = a_1 + d\]

\[a_6 = a_1 + 5d\]

\[a_{10} = a_1 + 9d\]

\[a_4 = a_1 + 3d\]

Шаг 2: Подставим выражения в уравнения

\[(a_1 + d) + (a_1 + 5d) = 42\]

\[(a_1 + 9d) - (a_1 + 3d) = 54\]

Шаг 3: Упростим уравнения

\[2a_1 + 6d = 42\]

\[6d = 54\]

Шаг 4: Решим систему уравнений

Из второго уравнения найдем d:

\[d = \frac{54}{6} = 9\]

Подставим d в первое уравнение:

\[2a_1 + 6(9) = 42\]

\[2a_1 + 54 = 42\]

\[2a_1 = -12\]

\[a_1 = -6\]